记 $S_n$ 为 $1,\dots ,n$ 的全体排列，$\mathrm{sgn}(\sigma )$ 在偶排列时为 $1$，在奇排列时为 $-1$。行列式展开为 $Y=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma ){\prod }_{i=1}^n{X}_{i,\sigma (i)}$。每个乘积中的变量互不相同，利用独立性，其期望均为 $2^n$。

于是 $E(Y)=2^n\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )$。当 $n\ge 2$ 时，偶排列与奇排列数目相等，故该符号和为 $0$，从而 $E(Y)=0$。