1994 · 数学三 · 第 18 题 · 解答题

求微分方程

y^{''} + a^{2} y = sin x

的通解，其中常数

a > 0

。

答案

$a \neq = 1$ 时 $y = C_{1} cos a x + C_{2} sin a x + \frac{sin x}{a ^{2} - 1}$ ； $a = 1$ 时 $y = C_{1} cos x + C_{2} sin x - \frac{x}{2} cos x$

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齐次方程 $y^{''} + a^{2} y = 0$ 的通解为

y_{h} = C_{1} cos a x + C_{2} sin a x .

若 $a \neq = 1$ ，设特解为 $y_{p} = A sin x$ ，代入得 $(a^{2} - 1) A = 1$ ，故

y = C_{1} cos a x + C_{2} sin a x + \frac{sin x}{a ^{2} - 1} .

若 $a = 1$ ，右端与齐次解共振。取

y_{p} = - \frac{x}{2} cos x,

直接代入可得 $y_{p}^{''} + y_{p} = sin x$ 。因此

y = C_{1} cos x + C_{2} sin x - \frac{x}{2} cos x .