记 $u(x,y,z)=xy+\frac{z}{y}$。梯度由三个偏导数组成，求每个偏导时其余变量保持不变：

$$u_x=y,u_y=x-\frac{z}{y^2},u_z=\frac{1}{y}.$$

在 $(2,1,1)$ 处，这三个分量分别为 $1$、$2-1=1$、$1$，所以 $\nabla u(2,1,1)=(1,1,1)$。梯度是向量，不能把分量相加写成 $3$，也不能用模长 $\sqrt{3}$ 代替。