2011 · 数学二 · 第 20 题 · 解答题

一容器的内侧是由图中曲线绕

y

轴旋转一周而成的曲面，该曲线由

x^{2} + y^{2} = 2 y (y \geq \frac{1}{2})

与

x^{2} + y^{2} = 1 (y \leq \frac{1}{2})

连接而成。长度单位为

m

，重力加速度为

g \frac{m}{s ^{2}}

，水的密度为

1 0^{3} \frac{kg}{m ^{3}}

。

(1) 求容器的容积；
(2) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功。

答案

第 1 问

$\frac{9 π}{4} m^{3}$

第 2 问

$3375 π g J$

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第 1 问

（1）确定水平截面积。上段圆的方程为 $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ ，取 $\frac{1}{2} \leq y \leq 2$ ，故截面半径的平方为 $x^{2} = 2 y - y^{2}$ ；下段为单位圆的 $- 1 \leq y \leq \frac{1}{2}$ 部分，故 $x^{2} = 1 - y^{2}$ 。两段在 $y = \frac{1}{2}$ 处均有 $x^{2} = \frac{3}{4}$ ，连续衔接。因此容器底部为 $y = - 1$ ，顶部为 $y = 2$ ，水平截面积为

A (y) = ⎩ ⎨ ⎧ π (1 - y^{2}), π (2 y - y^{2}), - 1 \leq y \leq \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \leq y \leq 2.

（2）用截面积积分求容积。按曲线连接处将积分分段，得

V = π \int_{- 1}^{\frac{1}{2}} (1 - y^{2}) d y + π \int_{\frac{1}{2}}^{2} (2 y - y^{2}) d y = π [y - \frac{y ^{3}}{3}]_{- 1}^{\frac{1}{2}} + π [y^{2} - \frac{y ^{3}}{3}]_{\frac{1}{2}}^{2} = π [(\frac{1}{2} - \frac{1}{24}) + \frac{2}{3} + \frac{4}{3} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{24})] = π (\frac{9}{8} + \frac{9}{8}) = \frac{9 π}{4} m^{3} .

第 2 问

（1）建立抽水功的积分。记水平截面积为上一问中的 $A (y)$ 。高度 $y$ 处厚度为 $d y$ 的水层，质量为 $d m = 1 0^{3} A (y) d y$ ，重力为 $g d m$ 。将它抽到顶部 $y = 2$ ，需提升 $2 - y$ ，忽略损耗时功元为 $d W = 1 0^{3} g A (y) (2 - y) d y$ 。因此至少需要的功为

W = 1 0^{3} π g \int_{- 1}^{\frac{1}{2}} (1 - y^{2}) (2 - y) d y + \int_{\frac{1}{2}}^{2} (2 y - y^{2}) (2 - y) d y .

（2）分别计算两段积分。展开被积函数，得

\int_{- 1}^{\frac{1}{2}} (1 - y^{2}) (2 - y) d y \int_{\frac{1}{2}}^{2} (2 y - y^{2}) (2 - y) d y = [2 y - \frac{y ^{2}}{2} - \frac{2 y ^{3}}{3} + \frac{y ^{4}}{4}]_{- 1}^{\frac{1}{2}} = \frac{155}{192} + \frac{19}{12} = \frac{153}{64}, = [2 y^{2} - \frac{4 y ^{3}}{3} + \frac{y ^{4}}{4}]_{\frac{1}{2}}^{2} = \frac{4}{3} - \frac{67}{192} = \frac{63}{64} .

两段相加为 $\frac{27}{8}$ ，故 $W = 1 0^{3} π g \times \frac{27}{8} = 3375 π g J$ 。

还可由质心核对：容器关于水平面 $y = \frac{1}{2}$ 对称，均匀水体的质心高度为 $y ˉ = \frac{1}{2}$ ，总质量为 $M = 1 0^{3} V = 2250 π kg$ 。于是 $W = M g (2 - y ˉ) = 3375 π g J$ ，与分层积分一致。