曲线在参数 $t$ 处的切向量为 $\mathbf{v}=(1,-2t,3t^2)$，平面的法向量为 $\mathbf{n}=(1,2,1)$。

切线与平面平行必须有 $\mathbf{v}\cdot \mathbf{n}=0$，即

解得 $t=1$ 或 $t=\frac{1}{3}$。两切点代入 $x+2y+z$ 分别得到 $0$ 和 $\frac{4}{27}$，都不等于 $4$，所以这两条切线均不在平面内，确与平面平行。其方向向量分别为 $(1,-2,3)$ 和 $(1,-\frac{2}{3},\frac{1}{3})$，不成比例，因而是不同直线。故恰有两条，选 B。