在分段点 $e$ 处分开，原积分收敛当且仅当两段都收敛。第一段令 $t=x-1$，有

零端点幂积分收敛当且仅当 $\alpha -1<1$，即 $\alpha <2$。其中 $\alpha \le 1$ 时函数在该端有界，同样满足条件。
第二段令 $u=\ln x$，$du=\frac{dx}{x}$，得

无穷限幂积分收敛当且仅当 $\alpha +1>1$，即 $\alpha >0$。合并得 $0<\alpha <2$，选 D。$\alpha =0$ 时第二段、$\alpha =2$ 时第一段分别退化为发散的 $\frac{1}{u}$ 或 $\frac{1}{t}$ 型积分。