${\hat{\beta }}_{\mathrm{MM}}=\frac{\overline{X}}{\overline{X}-1}$

令 $S=\sum _{i=1}^n\ln X_i$。当 $0<S<n$ 时，${\hat{\beta }}_{\mathrm{ML}}=\frac{n}{S}$；当 $S\ge n$ 时，在参数空间 $\beta >1$ 内不存在最大似然估计，似然仅在 $\beta \downarrow 1$ 时趋于上确界。

采用常用含边界密度版本时，${\hat{\alpha }}_{\mathrm{ML}}=X_{(1)}=\min \{X_1,\dots ,X_n\}$。若将边界密度定为零，则似然只有在 $\alpha \uparrow X_{(1)}$ 时的上确界，不取到最大值。

当 $\alpha =1$ 时，$X$ 的密度在 $x>1$ 上为 $\beta x^{-\beta -1}$。因 $\beta >1$，一阶矩有限，且

令样本均值 $\overline{X}$ 等于总体一阶矩，解 $\overline{X}=\frac{\beta }{(\beta -1)}$，得到

在该模型下各样本几乎必然大于 $1$，故 $\overline{X}>1$，所得估计也大于 $1$。

记 $S=\sum _{i=1}^n\ln X_i>0$。样本几乎必然落在 $(1,\infty )$，其似然与对数似然为

求导得 ${\ell }^{\prime }(\beta )=\frac{n}{\beta }-S$、${\ell }^{\prime \prime }(\beta )=-\frac{n}{{\beta }^2}<0$。若 $0<S<n$，驻点 $\hat{\beta }=\frac{n}{S}>1$ 位于参数空间内，严格凹性保证它是唯一最大值点。

若 $S\ge n$，则对所有 $\beta >1$ 都有 ${\ell }^{\prime }(\beta )<0$。因此似然严格递减，只在 $\beta \downarrow 1$ 时趋于上确界；由于 $1$ 不属于参数空间，这时不存在最大似然估计。

当 $\beta =2$ 时，取与题给分布函数相容的常用密度版本

密度在单点 $x=\alpha$ 的取值不改变分布函数，因此 $F(\alpha )=0$ 并不排斥这一版本。

记 $X_{(1)}={\min }_i{X}_i>0$。采用上述版本时，$\alpha \le X_{(1)}$ 的似然为

当 $\alpha >X_{(1)}$ 时为零。前一表达式在 $0<\alpha \le X_{(1)}$ 上严格递增，故 ${\hat{\alpha }}_{\mathrm{ML}}=X_{(1)}$。

若改用在 $x=\alpha$ 处取零的开支撑密度版本，则正似然区域变为 $0<\alpha <X_{(1)}$，边界不取到，只有 $\alpha \uparrow X_{(1)}$ 时的上确界。上述样本最小值结论采用的是常用的含边界密度约定。