先分别判断两部分。$\sum e^{-nx}$ 为等比级数，收敛当且仅当 $x>0$。对 $\sum \frac{x^{n+1}}{[n(n+1)]}$，相邻项绝对值比的极限为 $|x|$；在 $x=\pm 1$ 时，绝对值级数为 $\sum \frac{1}{[n(n+1)]}=1$，所以其收敛域为 $[-1,1]$。
在 $(0,1]$ 两部分均收敛，原级数收敛；在 $[-1,0]$ 及 $(1,\infty )$，一部分收敛而另一部分发散，故原级数发散。
还须单独处理两部分都发散的 $x<-1$，不能仅取收敛域交集。令 $t=|x|>1$，则

因为 $\frac{t}{e^t}<1$。于是 $u_n(x)=e^{nt}(1+o(1))\to +\infty$，通项不趋于零，原级数发散。综上收敛域为 $(0,1]$。

在 $0<x<1$ 内，两部分都收敛。等比求和得 $\sum _{n=1}^{\infty }{e}^{-nx}=\frac{1}{(e^x-1)}$。
第二部分用 $\frac{1}{[n(n+1)]}=\frac{1}{n}-\frac{1}{(n+1)}$，拆出的两级数在此区间各自收敛。由对数级数，

相减得到第二部分的和为 $(1-x)\ln (1-x)+x$，故

在 $x=1$ 处，第二部分须用部分和裂项，不能拆为两个发散级数之差：

因此 $S(1)=\frac{1}{(e-1)}+1=\frac{e}{(e-1)}$。这也与内部公式在 $x\to 1^{-}$ 的极限一致，因为 $(1-x)\ln (1-x)\to 0$。