变换 $\xi =x+ay$、$\eta =x+by$ 的雅可比行列式为 $b-a$，应取 $a\ne b$ 才能作为新的独立变量。由链式法则，$u_x=u_{\xi }+u_{\eta }$、$u_y=a{u}_{\xi }+b{u}_{\eta }$。因二阶偏导连续，可以交换混合求导次序；再求导得

代入原方程并合并同类项，得到

为消去两个纯二阶导数项，须有 $5a^2+12a+4=0$、$5b^2+12b+4=0$。由 $5t^2+12t+4=(5t+2)(t+2)$，两根为 $-2$、$-\frac{2}{5}$。结合 $a\ne b$，得 $(a,b)=(-2,-\frac{2}{5})$ 或 $(-\frac{2}{5},-2)$。
这两种取法都满足 $ab=\frac{4}{5}$、$a+b=-\frac{12}{5}$，故混合项系数为

因此原方程确化为 $-\frac{64}{5}{u}_{\xi \eta }=0$，即 $u_{\xi \eta }=0$。不能取相同的根，否则变换退化。