2015 · 数学一 · 第 4 题 · 选择题

设

D

是第一象限由曲线

2 x y = 1, 4 x y = 1

与直线

y = x, y = 3 x

围成的平面区域，函数

f (x, y)

在

D

上连续，则

\iint_{D} f (x, y) d x d y =

（　　）。

A
$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} d θ \int_{\frac{1}{2 sin 2 θ}}^{\frac{1}{sin 2 θ}} f (r cos θ, r sin θ) r d r$
B
$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} d θ \int_{\frac{1}{2 sin 2 θ}}^{\frac{1}{sin 2 θ}} f (r cos θ, r sin θ) r d r$
正确答案
C
$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} d θ \int_{\frac{1}{2 sin 2 θ}}^{\frac{1}{sin 2 θ}} f (r cos θ, r sin θ) d r$
D
$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} d θ \int_{\frac{1}{2 sin 2 θ}}^{\frac{1}{sin 2 θ}} f (r cos θ, r sin θ) d r$

答案

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在第一象限， $y = x$ 与 $y = 3 x$ 分别对应 $θ = \frac{π}{4}$ 、 $θ = \frac{π}{3}$ ，故角度范围为 $\frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{3}$ 。又因 $2 x y = r^{2} sin 2 θ$ ，两条双曲线化为

2 x y = 1 4 x y = 1 ⟹ r = \frac{1}{sin 2 θ}, ⟹ r = \frac{1}{2 sin 2 θ} .

在此角度范围内 $sin 2 θ > 0$ ，两根式均有意义； $x y = \frac{1}{4}$ 是内侧边界， $x y = \frac{1}{2}$ 是外侧边界。因此

\frac{1}{2 sin 2 θ} \leq r \leq \frac{1}{sin 2 θ} .

结合面积元 $d x d y = r d r d θ$ ，原积分等于

\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} d θ \int_{\frac{1}{2 sin 2 θ}}^{\frac{1}{sin 2 θ}} f (r cos θ, r sin θ) r d r,

即选项 B。A 的径向界漏开平方；C 同时漏开平方和面积元因子 $r$ ；D 的积分界正确，但遗漏了因子 $r$ 。