（1）确定待查点并化简。函数定义域为 $\mathbb{R}\setminus \{-1,0,1\}$，在定义域内处处连续。因此只需检查这三点。对定义域中的 $x$，约去公因子并注意平方根的绝对值，得

（2）逐点判断。$x\to 1$ 时 $\frac{x}{|x|}=1$，所以 $f(x)\to \frac{\sqrt{2}}{2}$，极限有限，$1$ 为可去间断点。$x\to 0^{+}$ 时 $f(x)\to 1$，$x\to 0^{-}$ 时 $f(x)\to -1$，故 $0$ 为跳跃间断点。
在 $-1$ 附近 $\frac{x}{|x|}=-1$，且 $\sqrt{x^2+1}\to \sqrt{2}$，因此

故 $-1$ 是无穷间断点。三个点中只有这一个无穷间断点，选 B。