对任意列向量 $x$，有 $Ax=\alpha ({\alpha }^{T}x)+\beta ({\beta }^{T}x)$，因此 $Ax\in \mathrm{span}\{\alpha ,\beta \}$。

所以 $\mathrm{Im}A\subseteq \mathrm{span}\{\alpha ,\beta \}$，从而 $r(A)=\dim \mathrm{Im}A\le \dim \mathrm{span}\{\alpha ,\beta \}\le 2$。

若 $\alpha ,\beta$ 线性相关，则 $\dim \mathrm{span}\{\alpha ,\beta \}\le 1$。由上问的值域包含关系，$r(A)\le 1<2$，故 $r(A)<2$。