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假设由自动线加工的某种零件的内径（毫米）服从正态分布，内径小于或大于的为不合格品，其余为合格品。已知销售一个零件的利润（元）与内径的关系为。问平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大？

答案

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记标准正态分布函数和密度分别为 与 。因为 ，平均利润为

即

求导得

令其为零，并利用标准正态密度公式，得到

因而

又

方括号内的量随 严格递减，并在上述点由正变负，所以该点给出平均利润的唯一最大值。