2003 · 数学三 · 第 14 题 · 解答题

记 $\nabla h = (h_{x}, h_{y})$ 为梯度， $Δ h = h_{xx} + h_{y y}$ 为拉普拉斯算子。置 $u = x y$ 、 $v = \frac{1}{2} (x^{2} - y^{2})$ ，则 $u_{x} = y, u_{y} = x, v_{x} = x, v_{y} = - y$ ，且 $Δ u = Δ v = 0$ 。

还可得 $u_{x}^{2} + u_{y}^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} = x^{2} + y^{2}$ 、 $u_{x} v_{x} + u_{y} v_{y} = 0$ 。

由链式法则，

Δ g = f_{uu} ∣\nabla u ∣^{2} + 2 f_{uv} \nabla u \cdot \nabla v + f_{v v} ∣\nabla v ∣^{2} + f_{u} Δ u + f_{v} Δ v .

结合 $f_{uu} + f_{v v} = 1$ ，得到 $Δ g = (x^{2} + y^{2}) (f_{uu} + f_{v v}) = x^{2} + y^{2}$ 。

答案