2022 · 数学一 · 第 9 题 · 选择题

设随机变量

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

独立同分布，且

X_{1}

的

4

阶矩存在，

E (X_{1}^{k}) = μ_{k} (k = 1, 2, 3, 4)

。对任意

ε > 0

，对随机变量

\frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}^{2}

直接应用切比雪夫不等式，所得不等式为

P {∣ \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}^{2} - μ_{2} ∣ \geq ε} \leq

（　　）。

答案

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令 $Z_{i} = X_{i}^{2}$ ，则 $Z_{1}, \dots, Z_{n}$ 仍独立同分布。由四阶矩存在，

E (Z_{i}) = μ_{2}, Var (Z_{i}) = E (X_{i}^{4}) - [E (X_{i}^{2})]^{2} = μ_{4} - μ_{2}^{2} < \infty.

再令 $Z = n^{- 1} i = 1 \sum n Z_{i}$ 。期望线性性与独立性给出

E (Z) Var (Z) = μ_{2}, = \frac{1}{n ^{2}} i = 1 \sum n Var (Z_{i}) = \frac{μ _{4} - μ _{2}^{2}}{n} .

对 $Z$ 直接使用切比雪夫不等式，对每个 $ε > 0$ 都有

P {\frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}^{2} - μ_{2} \geq ε} \leq \frac{Var ( Z )}{ε ^{2}} = \frac{μ _{4} - μ _{2}^{2}}{n ε ^{2}} .

故选 A。被平均的是 $X_{i}^{2}$ ，所以分子使用其方差；平均值方差缩小为原来的 $\frac{1}{n}$ ，不是 $\frac{1}{n}$ 。