2009 · 数学一 · 第 14 题 · 填空题

设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{m}

为来自二项分布总体

B (n, p)

的简单随机样本，

X, S^{2}

分别为样本均值和样本方差。若

X + k S^{2}

为

n p^{2}

的无偏估计量，则

k =

。

答案

$- 1$

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对 $X_{i} \sim B (n, p)$ ，有 $E (X_{i}) = n p$ 、 $Var (X_{i}) = n p (1 - p)$ 。样本方差 $S^{2}$ 无偏估计总体方差，所以 $E (S^{2}) = n p (1 - p)$ 。

令 $E (X + k S^{2}) = n p^{2}$ ，则 $n p + k n p (1 - p) = n p^{2}$ 。对参数范围内的非退化情形化简得 $k (1 - p) = - (1 - p)$ ，故 $k = - 1$ ，并且该值对所有 $p$ 都成立。