取底面为 $z=0$，椭圆为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1$，短轴为 $y$ 轴。截平面可写为 $z=x\tan \alpha$，楔形体投影在半椭圆 $x\ge 0$ 上。

对固定 $x\in [0,a]$，投影截段长度为 $2b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}$，高度为 $x\tan \alpha$。

故 $V=2b\tan \alpha {\int }_0^{a}x\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\mathrm{d}x=\frac{2}{3}{a}^{2}b\tan \alpha$。