记 $P=[f(x)-{\mathrm{e}}^x]\sin y$、$Q=-f(x)\cos y$。路径无关要求 $P_y=Q_x$，即 $[f(x)-{\mathrm{e}}^x]\cos y=-f^{\prime }(x)\cos y$，从而 $f^{\prime }+f={\mathrm{e}}^x$。

解得 $f(x)=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^x+C{\mathrm{e}}^{-x}$。由 $f(0)=0$ 得 $C=-\frac{1}{2}$，所以 $f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$，选 B。