令 $g(x)=\ln x-\frac{x-1}{x+1}$，定义域为 $x>0$。则 $g^{\prime }(x)=\frac{x^2+1}{x(x+1{)}^2}>0$，且 $g(1)=0$。

因此 $g(x)$ 与 $x-1$ 同号，从而 $(x-1)(x+1)g(x)\ge 0$。

展开即得 $(x^2-1)\ln x-(x-1{)}^2\ge 0$，等号仅在 $x=1$ 时成立。