对 $n\ge 2$，若 $x_n\ne x_{n-1}$，由拉格朗日中值定理，存在介于两者之间的 ${\xi }_n$，使

由 $0<f^{\prime }(x)<\frac{1}{2}$ 得 $|x_{n+1}-x_n|\le \frac{1}{2}|x_n-x_{n-1}|$。若相邻两项相等，后续也相等，该非严格不等式仍成立。递推可得，对所有 $n\ge 1$，

右端为可求和的等比数列，和为 $2|x_2-x_1|$。由比较判别法，$\sum |x_{n+1}-x_n|$ 收敛，故原级数绝对收敛。

由（1）知 $\sum (x_{n+1}-x_n)$ 收敛，其部分和为 $x_{N+1}-x_1$，所以数列 $x_n$ 有有限极限，记为 $A$。$f$ 可导因而连续，在递推式中取极限，得到 $A=f(A)$。
令 $g(x)=x-f(x)$，有 $g^{\prime }(x)=1-f^{\prime }(x)>\frac{1}{2}$，故 $g$ 严格递增，零点至多一个。又 $g(0)=-1<0$。由中值定理，存在 $\eta \in (0,2)$，使

因此 $f(2)<2$，从而 $g(2)=2-f(2)>0$。由连续函数零点定理，$g$ 在 $(0,2)$ 内存在唯一零点；而 $g(A)=0$，所以 $A$ 就是该零点，即 $0<\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n<2$。