$a\ne -4$，且$b,c$任意

$a=-4,c\ne 3b-1$

$a=-4,c=3b-1$

$\beta =t{\alpha }_1+(-b-1-2t){\alpha }_2+(2b+1){\alpha }_3,t\in \mathbb{R}$

以 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 为列组成矩阵，则

当且仅当 $a\ne -4$ 时三列构成 ${\mathbb{R}}^3$ 的一组基，故任意 $b,c$ 下 $\beta$ 均可唯一表示。

由第一问的行列式可知，只有 $a=-4$ 时列向量组降秩。此时 ${\alpha }_1=2{\alpha }_2$，且 ${\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关；向量 $(-1,3,-1{)}^T$ 同时与二者正交。

所以 $\beta =(1,b,c{)}^T$ 可表示当且仅当 $(-1,3,-1)\cdot (1,b,c)=-1+3b-c=0$。故不能表示的条件为 $a=-4,c\ne 3b-1$。

表示不唯一需要列向量组线性相关且方程相容。结合前两问，条件正是 $a=-4,c=3b-1$。

在 $a=-4,c=3b-1$ 时有 ${\alpha }_1=2{\alpha }_2$。若 $\beta ={\lambda }_1{\alpha }_1+{\lambda }_2{\alpha }_2+{\lambda }_3{\alpha }_3$，令 $s=2{\lambda }_1+{\lambda }_2$，则由前两坐标解得 $s=-b-1$、${\lambda }_3=2b+1$。

取自由参数 ${\lambda }_1=t$，则 ${\lambda }_2=-b-1-2t$。故一般表达式为 $\beta =t{\alpha }_1+(-b-1-2t){\alpha }_2+(2b+1){\alpha }_3$，其中 $t\in \mathbb{R}$。