2000 · 数学三 · 第 12 题 · 解答题

计算

I = \int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{e ^{1 + x} + e ^{3 - x}}

。

答案

$\frac{π}{4 e ^{2}}$

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令 $t = x - 1$ ，则 $e^{1 + x} + e^{3 - x} = e^{2} (e^{t} + e^{- t})$ ，故 $I = e^{- 2} \int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{e ^{t} + e ^{- t}}$ 。

再令 $s = e^{- t}$ ，则 $e^{- t} d t = - d s$ ，从而

I = e^{- 2} \int_{0}^{1} \frac{d s}{1 + s ^{2}} = e^{- 2} arctan s ∣_{0}^{1} = \frac{π}{4 e ^{2}} .