2018 · 数学三 · 第 4 题 · 选择题

（1）对平均成本求导。平均成本为 $C (Q) = \frac{C ( Q )}{Q}$ ，定义于 $Q > 0$ 。由于 $C$ 可导， $C$ 也可导； $Q_{0}$ 是正产量范围内的最小值点，由费马定理， $C^{'} (Q_{0}) = 0$ 。按商的求导法则，

C^{'} (Q) = \frac{Q C ^{'} ( Q ) - C ( Q )}{Q ^{2}} .

因 $Q_{0} > 0$ ，分母非零，故 $Q_{0} C^{'} (Q_{0}) - C (Q_{0}) = 0$ ，即 $Q_{0} C^{'} (Q_{0}) = C (Q_{0})$ ，选 D。等价地， $C^{'} (Q_{0}) = \frac{C ( Q _{0} )}{Q _{0}}$ ，表示平均成本最小时，边际成本等于平均成本。

（2）排除其他选项。A 把平均成本最小混同于总成本的驻点条件；B 漏掉了因子 $Q_{0}$ ；C 将 $Q_{0}$ 乘到了错误的一侧。例如取 $C (Q) = 8 + Q^{2}$ ，则 $C (Q) = \frac{8}{Q} + Q \geq 42$ ，等号仅在 $Q_{0} = 22$ 时成立。此时 $C (Q_{0}) = 16$ 、 $C^{'} (Q_{0}) = 42$ ，A、B、C 均不成立，而 D 成立。

答案