当 $x\to 0$ 时，$a^x=1+x\ln a+o(x)$，$b^x=1+x\ln b+o(x)$，故 $\frac{(a^x+b^x)}{2}=1+\frac{x}{2}\ln (ab)+o(x)$。

先求原幂函数的对数的极限：

由指数函数的连续性，原极限为 $\exp (\frac{3}{2}\ln (ab))=(ab{)}^{\frac{3}{2}}$。