（1）记底数 $B(x)=\frac{\ln (1+x)}{x}$。它趋于 $1$，故零点附近为正。原式可写为 $\exp [\frac{\ln B(x)}{e^x-1}]$，先求指数的极限。
（2）由 $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，得 $B(x)=1-\frac{x}{2}+o(x)$。再用 $\ln (1+u)=u+o(u)$，有 $\ln B(x)=-\frac{x}{2}+o(x)$。而 $e^x-1=x+o(x)$，所以

（3）由指数函数连续性，原极限为 $e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}}$。指数 $\frac{1}{(e^x-1)}$ 在两侧分别趋于正、负无穷，但上述指数表达式具有同一双侧极限。

仍记 $B=\frac{\ln (1+x)}{x}$。由 $B-1=\frac{[\ln (1+x)-x]}{x}=-\frac{x}{2}+o(x)$ 和 $e^x-1\sim x$，得到 $\frac{(B-1)}{(e^x-1)}\to -\frac{1}{2}$。因 $\frac{\ln B}{(B-1)}\to 1$，原式的对数趋于 $-\frac{1}{2}$，故极限为 $e^{-\frac{1}{2}}$。这就是先计算“指数乘底数减一”的形式；需要保留对数的二次项，不能直接把底数换成 $1$。