（1）因$t>0$时$x{e}^{-2x}$在$[t,2t]$上为正，$S(t)={\int }_t^{2t}x{e}^{-2x}dx$。上下限都含参数，先用变限积分求导确定最大值点：

$t{e}^{-4t}>0$，故$S^{\prime }(t)=0$等价于$e^{2t}=4$，解得$t=\ln 2$。当$0<t<\ln 2$时$S^{\prime }(t)>0$；当$t>\ln 2$时$S^{\prime }(t)<0$。所以$S$在整个$(0,+\infty )$上先增后减，最大值在$t=\ln 2$取得。
（2）用分部积分计算面积：

代入$e^{-2\ln 2}=\frac{1}{4}$、$e^{-4\ln 2}=\frac{1}{16}$，得