令 $f_n(x)=x^n+nx-1$。对 $x>0$，有 $f_n^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}+n>0$，故 $f_n$ 严格递增；又 $f_n(0)=-1<0$，$f_n(1)=n>0$，所以存在惟一正根 $x_n\in (0,1)$。

在根处 $x_n^n+n{x}_n=1$，从而 $n{x}_n=1-x_n^n<1$，即 $0<x_n<\frac{1}{n}$。

若 $\alpha >1$，则 $0<x_n^{\alpha }<\frac{1}{n^{\alpha }}$。由于 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{\alpha }}$ 收敛，比较判别法给出 $\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n^{\alpha }$ 收敛。