B 的特征值为$-2,1,1$；其特征子空间为$E_{-2}=\mathrm{span}\{(1,-1,1{)}^T\},E_1=\{(u,v,w{)}^T\mid u-v+w=0\}=\mathrm{span}\{(1,1,0{)}^T,(-1,0,1{)}^T\}$

$B=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 1& 0& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)$

令 $p(\lambda )={\lambda }^5-4{\lambda }^3+1$。则

因此 $B{\alpha }_1=p(1){\alpha }_1=-2{\alpha }_1$，确认 ${\alpha }_1$ 是 $B$ 的特征向量。

$A$ 为实对称矩阵且三个特征值互异，${\alpha }_1^{\perp }$ 正好是 $A$ 的属于 $2,-2$ 的两个特征子空间之和，所以 $B$ 在该平面上恒为特征值 $1$。于是

因为 $\Vert {\alpha }_1{\Vert }^2=3$，投影到 $A$ 的特征值 $1$ 对应特征子空间的正交投影为

记 $I$ 为三阶单位矩阵。由第一问，$B$ 在 $\mathrm{span}\{{\alpha }_1\}$ 上取 $-2$、在其正交补上取 $1$，有