2000 · 数学一 · 第 12 题 · 解答题

设

z = f (x y, \frac{x}{y}) + g (\frac{y}{x})

，其中

f

具有二阶连续偏导数，

g

具有二阶连续导数，求

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}

。

答案

$f_{1} + x y f_{11} - \frac{f _{2}}{y ^{2}} - \frac{x f _{22}}{y ^{3}} - \frac{g ^{'} ( \frac{y}{x} )}{x ^{2}} - \frac{y g ^{''} ( \frac{y}{x} )}{x ^{3}}$

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记 $u = x y$ 、 $v = \frac{x}{y}$ 、 $w = \frac{y}{x}$ ，并用 $f_{i}, f_{ij}$ 表示 $f$ 在 $(u, v) = (x y, \frac{x}{y})$ 处相应的偏导数。先对 $y$ 求导：

z_{y} = x f_{1} - \frac{x}{y ^{2}} f_{2} + \frac{1}{x} g^{'} (w) .

再对 $x$ 求导。来自 $f_{12}$ 的两项相消，得到

z_{x y} = f_{1} + x y f_{11} - \frac{f _{2}}{y ^{2}} - \frac{x}{y ^{3}} f_{22} - \frac{1}{x ^{2}} g^{'} (\frac{y}{x}) - \frac{y}{x ^{3}} g^{''} (\frac{y}{x}) .