对左端积分取 $P=-y{\mathrm{e}}^{-\sin x}$、$Q=x{\mathrm{e}}^{\sin y}$。由格林公式，左端等于

同理，右端等于 ${\iint }_D({\mathrm{e}}^{-\sin y}+{\mathrm{e}}^{\sin x})\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

由于 $D=[0,\pi ]\times [0,\pi ]$，两式分别都是 $\pi {\int }_0^{\pi }({\mathrm{e}}^{\sin t}+{\mathrm{e}}^{-\sin t})\mathrm{d}t$，故相等。

由第一问经格林公式所得的积分表达式，左端积分 $I=\pi {\int }_0^{\pi }({\mathrm{e}}^{\sin t}+{\mathrm{e}}^{-\sin t})\mathrm{d}t$。

对任意实数 $u$，有 ${\mathrm{e}}^u+{\mathrm{e}}^{-u}\ge 2$。令 $u=\sin t$，得到 $I\ge \pi {\int }_0^{\pi }2\mathrm{d}t=2{\pi }^2$。