（1）题设的极限为有限数 $b$，故 $f(x)-a=[\frac{(f(x)-a)}{(x-a)}](x-a)\to 0$，所以 $f(x)\to a$。这不要求 $f(a)=a$，也不能直接说 $f^{\prime }(a)=b$。
（2）定义连续函数 $H(t)=\frac{\sin t}{t}$（$t\ne 0$）、$H(0)=1$。由和差化积，对 $x\ne a$ 恒有

即使 $f(x)=a$，两边也同为零。各因子的极限依次为 $\cos a,1,b$，故所求为 $b\cos a$，选 B。
（3）其余表达式不普遍成立。例如取 $a=0,b=1$，令 $f(x)=x$（$x\ne 0$）、$f(0)=\pi$，满足题设，原极限为 $1$；A、C 给出 $0$，D 给出 $-1$，均错误。

仍先由题设得到 $f(x)\to a$。当 $f(x)\ne a$，对正弦函数在端点 $a,f(x)$ 之间用拉格朗日中值定理，存在介于两者之间的 $\xi (x)$，使 $\sin f(x)-\sin a=\cos \xi (x)[f(x)-a]$。若 $f(x)=a$，取 $\xi (x)=a$，等式仍成立。于是 $|\xi (x)-a|\le |f(x)-a|\to 0$，所以原分式为 $\cos \xi (x)\frac{[f(x)-a]}{(x-a)}\to b\cos a$。选 B。