当 $x\to 0$ 时，$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)$，故 $\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}=\frac{x}{6}+O(x^3)$。

又有 $\cot x=\frac{1}{x}+O(x)$，所以原式极限为 $\frac{1}{6}$。