令 $F(x)=x{\mathrm{e}}^{-x}f(x)$。题设等式两边乘以 ${\mathrm{e}}^{-1}$，得 $F(1)=k{\int }_0^{\frac{1}{k}}F(x)\mathrm{d}x$。

右端是 $F$ 在 $[0,\frac{1}{k}]$ 上的积分平均值。由积分中值定理，存在 $\eta \in [0,\frac{1}{k}]$ 使 $F(\eta )=F(1)$。因 $k>1$，有 $\eta <1$。

在 $[\eta ,1]$ 上对 $F$ 使用罗尔定理，存在 $\xi \in (\eta ,1)\subset (0,1)$ 使 $F^{\prime }(\xi )=0$。而 $F^{\prime }(x)=x{\mathrm{e}}^{-x}[f^{\prime }(x)+(x^{-1}-1)f(x)]$，故 $f^{\prime }(\xi )=(1-{\xi }^{-1})f(\xi )$。