按要素价格为正常数考虑。产量约束为 $x_1^{\alpha }{x}_2^{\beta }=6$，费用为 $C=p_1{x}_1+p_2{x}_2$。最优点必使约束取等号且 $x_1,x_2>0$。

拉格朗日一阶条件给出 $p_1=\mu \alpha x_1^{\alpha -1}{x}_2^{\beta }$、$p_2=\mu \beta x_1^{\alpha }{x}_2^{\beta -1}$，故 $\frac{x_2}{x_1}=\frac{\beta p_1}{\alpha p_2}$。

将 $x_2=\frac{\beta p_1}{\alpha p_2}{x}_1$ 代入约束，并用 $\alpha +\beta =1$，得 $x_1=6(\frac{\alpha p_2}{\beta p_1}{)}^{\beta }$，进而 $x_2=6(\frac{\beta p_1}{\alpha p_2}{)}^{\alpha }$。

费用函数的等产量约束化形式在正区间两端均趋于无穷大，而上述驻点唯一，因此它给出全局最小费用。