1992 · 数学三 · 第 5 题 · 填空题

由曲线

y = x e^{x}

与直线

y = e x

所围成的图形的面积

S =

。

答案

$\frac{e}{2} - 1$

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两曲线交点满足 $x e^{x} = e x$ ，故 $x = 0$ 或 $x = 1$ 。在 $[0, 1]$ 上有 $e x \geq x e^{x}$ 。

所围面积为

S = \int_{0}^{1} x (e - e^{x}) d x = \frac{e}{2} - [(x - 1) e^{x}]_{0}^{1} = \frac{e}{2} - 1.