由拉格朗日中值定理，存在 ${\xi }_x\in (x-1,x)$ 使 $f(x)-f(x-1)=f^{\prime }({\xi }_x)$。当 $x\to \infty$ 时 ${\xi }_x\to \infty$，故右端极限为 $\mathrm{e}$。

另一方面，$x\ln \frac{x+c}{x-c}=x[\ln (1+\frac{c}{x})-\ln (1-\frac{c}{x})]\to 2c$，所以左端极限为 ${\mathrm{e}}^{2c}$。

由 ${\mathrm{e}}^{2c}=\mathrm{e}$ 得 $c=\frac{1}{2}$。