沿 $\lambda E-A$ 第三列展开，得

三个特征值为 $1,3,b$，仅有两个不同值要求 $b=1$ 或 $b=3$。
当 $b=1$ 时，$1$ 是二重根。可对角化要求 $r(A-E)=1$，而

前两行相同且非零，秩为 $1$ 当且仅当第三行与它们成比例，由第一分量知比例系数为 $1$，所以 $a=1$。
当 $b=3$ 时，$3$ 是二重根，同理要求 $r(A-3E)=1$，而

前两行互为相反数，秩为 $1$ 当且仅当第三行等于第二行，即 $a=-1$。两种情形均有二重根对应二维特征空间，单根另提供一维，因此都可对角化。故全部参数为 $(1,1)$ 与 $(-1,3)$。

当 $(a,b)=(1,1)$ 时，对特征值 $1$，方程 $(A-E)x=0$ 化为 $x_1+x_2=0$，取基础解系 ${\xi }_1=(-1,1,0{)}^T,{\xi }_2=(0,0,1{)}^T$。对特征值 $3$，由 $(A-3E)x=0$ 得 $x_2=x_1,x_3=x_1$，取 ${\xi }_3=(1,1,1{)}^T$。因此可取

其行列式为 $2$，按列对应特征值 $1,1,3$，有 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}(1,1,3)$。
当 $(a,b)=(-1,3)$ 时，对特征值 $3$，方程为 $x_1=x_2$，取基础解系 ${\eta }_1=(1,1,0{)}^T,{\eta }_2=(0,0,1{)}^T$。对特征值 $1$，由 $(A-E)x=0$ 得 $x_2=-x_1,x_3=-x_1$，取 ${\eta }_3=(1,-1,-1{)}^T$。故可取

其行列式也为 $2$，按列对应特征值 $3,3,1$，有 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}(3,3,1)$。两种情形中的 $P$ 均可逆，且两组参数都必须保留。