配方得 $x^2+2x+5=(x+1{)}^2+4>0$，没有有限瑕点。令 $t=\frac{(x+1)}{2}$，原函数为 $\frac{1}{2}\arctan \frac{x+1}{2}$，所以

$$\begin{array}{rl}I& =\underset{A\to -\infty }{\lim }{\left[\frac{1}{2}\arctan \frac{x+1}{2}\right]}_A^1\\ & =\frac{1}{2}\arctan 1-\frac{1}{2}\left(-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{3\pi }{8}.\end{array}$$

所用极限为 $\arctan (\frac{(A+1)}{2})\to -\frac{\pi }{2}$，有限极限同时证明反常积分收敛。