2009 · 数学三 · 第 11 题 · 填空题

幂级数

n = 1 \sum \infty \frac{e ^{n} - ( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} x^{n}

的收敛半径为。

答案

$\frac{1}{e}$

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幂级数系数为

a_{n} = \frac{e ^{n} - ( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} .

由于 $e^{n} - (- 1)^{n} \sim e^{n}$ ，有

n \to \infty lim sup ∣ a_{n} ∣^{\frac{1}{n}} = e .

由幂级数收敛半径公式 $R = \frac{1}{lim sup ∣ a _{n} ∣ ^{\frac{1}{n}}}$ ，得到

R = \frac{1}{e} .