所求等式为 $x_{0}f(x_0)={\int }_{x_0}^{1}f(t)\mathrm{d}t$。令

则 $F$ 在 $[0,1]$ 上连续，并且由交换积分次序可得

若 $f\equiv 0$，任取 $x_0\in (0,1)$ 即可。否则 $F(0)=-{\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t<0$。若 $F$ 在 $(0,1)$ 内无零点，则由连续性必有 $F(x)<0$ 对所有 $0<x<1$ 成立，这与 ${\int }_0^{1}F(x)\mathrm{d}x=0$ 矛盾。因此存在所需的 $x_0$。

沿用第一问定义的函数 $F$。在 $(0,1)$ 内，

由条件 $f^{\prime }(x)>-\frac{2f(x)}{x}$ 且 $x>0$，可知 $F^{\prime }(x)>0$。

故 $F$ 在 $(0,1)$ 上严格递增，至多有一个零点；结合第（1）问的存在性，零点 $x_0$ 唯一。