（1）由 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(e^x-1)}{x}=1=f(0)$，知 $f$ 在零点连续。按导数定义，

（2）由 $e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，上式趋于 $\frac{1}{2}$，故 $f^{\prime }(0)=\frac{1}{2}\ne 0$。也可对该 $\frac{0}{0}$ 型商两次用洛必达法则：先得 $\frac{(e^x-1)}{(2x)}$，再得 $\frac{e^x}{2}\to \frac{1}{2}$。
（3）可导函数在内点取得极值的必要条件是导数为零，故零点不是极大或极小值点，排除 A、B；C 的导数值错误。因此选 D。

直接展开得到 $f(x)=1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+o(x^2)$（$x\ne 0$），结合 $f(0)=1$，有 $\frac{[f(x)-f(0)]}{x}=\frac{1}{2}+\frac{x}{6}+o(x)\to \frac{1}{2}$。故在零点可导且导数非零，选 D。
这里只用展开式及导数定义推出一阶可导。对一般函数，不能仅凭含 $o(x^2)$ 的展开就断言二阶导数存在，也不能仅由一点导数为正便断言某邻域内严格单调；本题判断非极值无需这些额外结论。