令 $g(x)=\ln y=2x\ln x$，则 $\frac{y^{\prime }}{y}=2(\ln x+1)$，唯一驻点为 $x={\mathrm{e}}^{-1}$。

在该点 $y={\mathrm{e}}^{-\frac{2}{\mathrm{e}}}$。同时 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{2x}=1$，且 $y(1)=1$；函数在临界点左侧递减、右侧递增，故区间 $(0,1]$ 上的最小值为 ${\mathrm{e}}^{-\frac{2}{\mathrm{e}}}$。