2012 · 数学一 · 第 16 题 · 解答题

记 $E = e^{- \frac{( x ^{2} + y ^{2} )}{2}} > 0$ ，则 $E_{x} = - x E$ 、 $E_{y} = - y E$ 。由乘积法则得 $f_{x} = (1 - x^{2}) E$ 、 $f_{y} = - x y E$ 。驻点须满足 $1 - x^{2} = 0$ 、 $x y = 0$ ，所以只有 $(1, 0)$ 、 $(- 1, 0)$ 。函数在全平面光滑，任何极值点都必须属于这两个驻点。
继续求二阶偏导：

f_{xx} f_{x y} f_{y y} = (x^{3} - 3 x) E, = - y (1 - x^{2}) E, = x (y^{2} - 1) E .

记基点处三者为 $A, B, C$ 。在 $(1, 0)$ 处， $A = - 2 e^{- \frac{1}{2}}$ 、 $B = 0$ 、 $C = - e^{- \frac{1}{2}}$ ，故 $A C - B^{2} = 2 e^{- 1} > 0$ 且 $A < 0$ ，取得极大值 $f (1, 0) = e^{- \frac{1}{2}}$ 。
在 $(- 1, 0)$ 处， $A = 2 e^{- \frac{1}{2}}$ 、 $B = 0$ 、 $C = e^{- \frac{1}{2}}$ ，故同样有 $A C - B^{2} = 2 e^{- 1} > 0$ ，而 $A > 0$ ，取得极小值 $f (- 1, 0) = - e^{- \frac{1}{2}}$ 。
这两个极值也是全局最值： $∣ f ∣ = ∣ x ∣ e^{- \frac{x ^{2}}{2}} e^{- \frac{y ^{2}}{2}} \leq ∣ x ∣ e^{- \frac{x ^{2}}{2}}$ ，而对 $t \geq 0$ ， $(t e^{- \frac{t ^{2}}{2}})^{'} = (1 - t^{2}) e^{- \frac{t ^{2}}{2}}$ ，故其最大值为 $e^{- \frac{1}{2}}$ ，在 $t = 1$ 时取得。

答案