2017 · 数学一 · 第 22 题 · 解答题

设随机变量

X, Y

相互独立，且

P (X = 0) = P (X = 2) = \frac{1}{2}

，

Y

的概率密度为

f (y) = {2 y, 0, 0 < y < 1 其他

。

(1) 求 $P (Y \leq E (Y))$ ；
(2) 求 $Z = X + Y$ 的概率密度。

答案

第 1 问

$\frac{4}{9}$

第 2 问

f_{Z} (z) = ⎩ ⎨ ⎧ z, z - 2, 0, 0 < z < 1, 2 < z < 3, 其他 .

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第 1 问

先算期望， $E (Y) = \int_{0}^{1} y \cdot 2 y d y = \frac{2}{3}$ 。该值在密度支撑内部，所以

P {Y \leq E (Y)} = \int_{0}^{\frac{2}{3}} 2 y d y = [y^{2}]_{0}^{\frac{2}{3}} = \frac{4}{9} .

一般不能把均值当作中位数，故不能直接认为该概率为 $\frac{1}{2}$ 。

第 2 问

按 $X$ 的两个取值用全概率公式，并利用独立性，

F_{Z} (z) = \frac{1}{2} P {Y \leq z ∣ X = 0} + \frac{1}{2} P {Y \leq z - 2 ∣ X = 2} = \frac{1}{2} F_{Y} (z) + \frac{1}{2} F_{Y} (z - 2) .

在可导处求导，得 $f_{Z} (z) = \frac{1}{2} f_{Y} (z) + \frac{1}{2} f_{Y} (z - 2)$ 。第一项非零条件为 $0 < z < 1$ ，此时等于 $z$ ；第二项非零条件为 $2 < z < 3$ ，此时等于 $z - 2$ 。两段不相交，因此可取

f_{Z} (z) = ⎩ ⎨ ⎧ z, z - 2, 0, 0 < z < 1, 2 < z < 3, 其他 .

密度非负，总积分为 $\int_{0}^{1} z d z + \int_{2}^{3} (z - 2) d z = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ 。两段的权重 $\frac{1}{2}$ 均不能遗漏。