2001 · 数学二 · 第 12 题 · 解答题

对于极限

t \to x lim (\frac{sin t}{sin x})^{\frac{x}{sin t - sin x}}

，记其值为

f (x)

。

(1) 求该极限，即求函数 $f (x)$ ；
(2) 求函数 $f (x)$ 的间断点并指出其类型。

答案

第 1 问

$f (x) = e^{\frac{x}{sin x}}, x \neq = k π (k \in Z)$

第 2 问

间断点为 $x = k π (k \in Z)$ ；其中 $x = 0$ 是可去间断点，其余均为无穷间断点。

查看解析展开

第 1 问

当 $sin x \neq = 0$ 时， $t$ 充分接近 $x$ 可保证 $\frac{sin t}{sin x} > 0$ 。先求原幂函数的对数的极限：

t \to x lim x \frac{ln ( \frac{sin t}{sin x} )}{sin t - sin x} .

令 $u = sin t$ 。由 $u \to a lim \frac{ln ( \frac{u}{a} )}{u - a} = \frac{1}{a}$ ，得到上述极限为 $\frac{x}{sin x}$ 。由指数函数的连续性， $f (x) = e^{\frac{x}{sin x}}$ ，其定义域排除 $x = k π$ 。

第 2 问

由第一问的函数表达式，当 $x \to 0$ 时， $\frac{x}{sin x} \to 1$ ，所以 $f (x) \to e$ 。函数在零点未定义，但极限有限，故 $x = 0$ 为可去间断点。

当 $x \to k π$ 且 $k \neq = 0$ 时，写 $x = k π + h$ ，则

\frac{x}{sin x} \sim (- 1)^{k} \frac{k π}{h} .

两侧分别趋于正无穷和负无穷，因此 $f (x)$ 的两侧极限分别表现为 $+ \infty$ 与 $0$ ，故这些点均为无穷间断点。