令 $F(x)=xf(x)$。则 $F$ 在 $[0,1]$ 上连续、在 $(0,1)$ 上可导，且题设化为

由积分中值定理，存在 $\eta \in [0,\frac{1}{2}]$，使

因此 $F(1)=F(\eta )$。

在 $[\eta ,1]$ 上应用罗尔定理，存在 $\xi \in (\eta ,1)\subset (0,1)$，使