当 $x\to 0^{+}$ 时，由 $\sin (\pi x)=\pi x-\frac{{\pi }^3{x}^3}{6}+o(x^3)$ 可知

因此

另一方面，$-\frac{1}{\pi (1-x)}\to -\frac{1}{\pi }$，故 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=-\frac{1}{\pi }$。

在 $(0,\frac{1}{2}]$ 上，各分母均不为零，原函数连续。因此且仅当补定义 $f(0)=-\frac{1}{\pi }$ 时，函数在 $[0,\frac{1}{2}]$ 上连续。