由导数定义，$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(1)-f(1-x)}{x}=f^{\prime }(1)$。题设极限等于 $\frac{1}{2}{f}^{\prime }(1)=-1$，故 $f^{\prime }(1)=-2$。

函数以 $4$ 为周期且可导，所以其导函数也以 $4$ 为周期，因而 $f^{\prime }(5)=f^{\prime }(1)=-2$。应选 D。