按 $x=1$ 分段：$S_0={\int }_0^{1}x{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x+{\int }_1^2(2-x){\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x$。

第一项为 $1-2{\mathrm{e}}^{-1}$，第二项为 ${\mathrm{e}}^{-2}$，故 $S_0=1-2{\mathrm{e}}^{-1}+{\mathrm{e}}^{-2}=(1-{\mathrm{e}}^{-1}{)}^2$。

令 $u=x-2$，则 $S_1={\int }_0^{2}f(u){\mathrm{e}}^{-(u+2)}\mathrm{d}u={\mathrm{e}}^{-2}{S}_0$。

代入上一问结果，得 $S_1={\mathrm{e}}^{-2}(1-{\mathrm{e}}^{-1}{)}^2$。

令 $u=x-2n$，则 $S_n={\int }_0^{2}f(u){\mathrm{e}}^{-(u+2n)}\mathrm{d}u={\mathrm{e}}^{-2n}{S}_0$。

所以 $S_n={\mathrm{e}}^{-2n}(1-{\mathrm{e}}^{-1}{)}^2$，$n=2,3,\dots$。

由各问统一公式 $S_n={\mathrm{e}}^{-2n}{S}_0$（$n\ge 0$），有 $S=S_0\sum _{n=0}^{\infty }{\mathrm{e}}^{-2n}=\frac{S_0}{1-{\mathrm{e}}^{-2}}$。

代入 $S_0=(1-{\mathrm{e}}^{-1}{)}^2$ 并约分，得 $S=\frac{1-{\mathrm{e}}^{-1}}{1+{\mathrm{e}}^{-1}}=\frac{\mathrm{e}-1}{\mathrm{e}+1}$。