令 $g(x)=(\frac{1}{\sqrt{x}}{)}^{\tan x}$（$x>0$ 且充分小），则底数为正，且

$$\ln g(x)=\tan x\ln \frac{1}{\sqrt{x}}=-\frac{1}{2}\tan x\ln x.$$

因 $\frac{\tan x}{x}\to 1$，且 $x\ln x\to 0$，故 $\underset{x\to 0+}{\lim }\ln g(x)=0$。由指数函数的连续性，原极限为 $\underset{x\to 0+}{\lim }g(x)=1$。